Turunan Fungsi (1 Variabel)

Pengertian Turunan Fungsi
Pengertian Turunan Fungsi diawali pada ilmu turunan muncul dalam permasalahan garis singgung oleh ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 s.d. 212 SM). Permasalahan kemudian berkembang ke arah benda bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat. Euclid mengungkapkan gagasannya tentang garis singgung yang menyentuh kurva pada satu titik, gagasan tersebut berfungsi untuk persamaan lingkaran tetapi tidak berfungsi pada beberapa kurva. Uraian terbaik mengenai turunan fungsi digambarkan melalui konsep limit.

Sebuah kurva y = f(x) memuat dua titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah P(c, f(c)) dan Q(c+h, f(c+h)). Kemiringan garis PQ dapat ditentukan melalui persamaan tan, sehingga diperoleh definisi turunan. Sebelum mempelajari definisi turunan, perhatikan gambar di bawah!

Definisi Turunan Fungsi

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau $\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}$ seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x. Definisi Turunan Fungsi diberikan seperti berikut.
Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai:

Tentukan turunan pertama dari persamaan f(x) = 13x + 8, menggunakan definisi turunan!
Penyelesaian:

$f'(x)\; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{f(x+h)} - \textrm{f(x)}}{h}$

$\;\;\; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13(x+h)+8}-\textrm{13x+8}}{h}$

$\;\;\; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13x + 13h + 8} - \textrm{13x + 8}}{h}$

$\;\;\; = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13h}}{h}$

$\;\;\; = \lim_{h\rightarrow 0}\textrm{13 = 13}$

Penggunaan definisi untuk menentukan turunan dari sebuah persamaan dirasa tidak praktis, sehingga diperlukan aturan – aturan (teorema – teorema turunan fungsi) di bawah untuk memudahkan dalam menentukan turunan suatu persamaan.

Teorema dalam Turunan Fungsi

Setidaknya ada delapan teorema dalam turunan fungsi yang dapat sobat idschool gunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis tipe soal turunan fungsi. Kedelapan teorema dalam turunan fungsi beserta buktinya dapat sobat idschool simak pada masing – masing bahasan teorema di bawah.
Teorema 1
Turunan dari sebuah konstanta $k$ adalah 0:

$\frac{d}{dx}k\;=0$

Bukti:

$f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{k-k}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \; 0 \; = \; 0$

Contoh Penggunaan Teorema 1:
Turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah …
Pembahasan: Tujuh (7) merupakan konstanta sehingga turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah 0.

Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan berikut.

$\frac{d}{dx}x \; = \; 1$

Bukti:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x+h-x}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}\;$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \; 1 \; = \; 1$

Teorema 3 (Aturan Pangkat)
Jika $f(x)=x^{n}$ maka $f'(x)\;=\;n \cdot x^{n-1}$ , dengan n merupakan bilangan bulat positif.

$\frac{d}{dx}x^{n}\;=\; nx^{n-1}$

Bukti:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+...+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]$

$= nx^{n-1}$

Contoh Penggunaan Teorema 3:
Turunan pertama dari fungsi y = x⁹ adalah …
Pembahasan:
Penggunaan teorema 3 untuk mencari persamaan y = x⁹ maka turunan pertamanya adalah

$\frac{d}{dx}x^{9} = 9 \cdot x^{9-1} = 9x^{8}$

Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = $k \cdot f'(x)$ atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

$\frac{d}{dx} \left[ k \cdot f(x) \right] \; = k \cdot \frac{d}{dx}f(x)$

Bukti:
Andaikan F(x) = $k \cdot f(x)$ maka

$F'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{k \cdot f(x+h)-k \cdot f(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} k \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} k \cdot f'(x)$

Contoh Penggunaan Teorema 4:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = -5x⁴!
Pembahasan:
Berdasarkan teorema 4 maka akan diperoleh hasil

$f'(x)=\frac{d}{dx}-5x^{4}$

$f'(x)= -5 \frac{d}{dx}x^{4}$

$f'(x)= -5 (4x^{3})$

$f'(x)= -20x^{3}$

Teorema 5 (Aturan Jumlah)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

$\frac{d}{dx} \left[ f(x) + g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) + g(x) maka

$F'(x) \; = \; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)+g(x+h)\right] - \left[ f(x) + g(x) \right]}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right]$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= f'(x) + g'(x)$

Teorema 6 (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f – g)'(x) = f'(x) – g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.
$\frac{d}{dx} \left[ f(x) - g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}g(x)$ Bukti:
Andaikan F(x) = f(x) – g(x) maka

$F'(x) \; = \; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)-g(x+h)\right]-\left[ f(x) - g(x)\right]}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right]$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$= f'(x) - g'(x)$

Teorema 7 (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka $(f \cdot g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$ atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

$\frac{d}{dx} \left[ f(x)g(x) \right] \; = f(x)\frac{d}{dx}g(x) + g(x)\frac{d}{dx}f(x)$

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:

$\frac{d}{dx} \left[ f(x)g(x) \right] = uv' + vu'$

Bukti:
Andaikan F(x) = f(x)g(x) maka

$F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)- f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)- g(x)}{h} + g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right]$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left[f(x+h) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)- g(x)}{h} + g(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right]$

$=f(x)\frac{d}{dx}g(x) + g(x)\frac{d}{dx}f(x)$

$=f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

Contoh Penggunaan Teorema 7
Jika diketahui:
$f(x) = (3x^2-2)(5x-4)$ maka f'(x) = ….

$\textrm{A. } 45x^2 - 24x - 10$

$\textrm{B. } - 45x^2 - 24x - 10$

$\textrm{C. } 45x^2 + 24x - 10$

$\textrm{D. } 45x^2 - 24x + 10$

$\textrm{E. } - 45x^2 - 24x + 10$

Pembahasan:
Hasil turunan f(x) dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus:

$f(x) = u \cdot v \rightarrow f'(x) = u'v + uv'$

Misal:

$u = 3x^2-2 \rightarrow u'=\frac{du}{dx}=6x$

$v = 5x-4 \rightarrow v'=\frac{dv}{dx}=5$

$f'(x) = 6x(5x-4) + 5(3x^2-2)$

$=30x^2-24x+15x^2-10$

$=45x^2-24x-10$

Jawaban: A

Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan $g(x) \neq 0$ maka

$\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$

TRIK mengingat!!!
misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:

$\left(\frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{vu' - uv'}{v^{2}}$

Bukti:
Andaikan $F(x) \; = \; \frac{f(x)}{g(x)}$ maka:

$F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x)f(x+h)- f(x)g(x+h)}{h} \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \left[g(x)\frac{f(x+h)- f(x)}{h} - f(x) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \right)$

$=\left[g(x)f'(x) - f(x)g'(x)\right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x)}$

$=\frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$

$=\frac{vu'- uv'(x)}{v^{2}(x)}$

Contoh Penggunaan Teorema 8
Tentukan turunan pertama dari persamaan

$f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5}$

Pembahasan:
Untuk mencari turunan pertama $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5}$ dapat langsung menggunakan Teorema 8 yang telah dibuktikan di atas.

$f'(x)=\frac{vu'- uv'(x)}{v^{2}(x)}$

Misal:

$u = 2x-3 \rightarrow u'=\frac{d}{dx}(2x-3)=2$

$v = x^{3}+5 \rightarrow v'=\frac{d}{dx}(x^{3}+5)=3x^{2}$

$f'(x) = \frac{(x^{3}+5)(2) + (2x-3)(3x^{2})}{(x^{3}+5)^{2}}$

$f'(x) = \frac{2x^{3}+10 + 6x^{3}-9x^{2}}{x^{6} +4x^{3} +10}$

$f'(x) = \frac{8x^{3} - 9x^{2} + 10}{x^{6} + 4x^{3} + 10}$

Cari Blog Ini

MATERI MATEMATIKA