Turunan Fungsi (Lebih Dari 1 Variabel Bebas)

A. Turuna Fungsi dengan 1 Variabel Bebas

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misal fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beratuhan atauTurunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

$download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$

fungsi turunan juga dapat dinyatakan dengan y’ atau f’ (x) atau $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$ atau $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$

1. Turunan Fungsi Aljabar
Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

Jika y = k, maka y’ = 0

Jika y = x, maka y’ = 1

Jika $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$ , maka $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$

Jika $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$ , maka $download-8-1 Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar$

2. KAIDAH - KAIDAH DIFERENSIAL

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2 → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

1. y = x7

y’ = 7x6

2. y = x-8

y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2

y= 5x-8 → y’= -40x-9

y= 6x5 → y’ = 30x4

y = 3x7

y’ = 7.3x7-1

y’ = 21x6

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

y = 5/x3 ,

dy/dx = 5(3x2) / (x3)2

= -15x2/ x6

y = 4/x-8

y’= -4.-8x9 / (x-8)2

y’ = 32x-9 / x--16

y’= (32x-9). x16

y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

y = (4x2) (x3)

Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → dv/dx = 3x2

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

= 12x4+ 8x4

= 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

v = x4 → dv/dx = 4x3

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

= 32x5+ 16x5

= 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

y = U/V → y = (4x2) / x3

y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

= 8x4-12x4 / x6

= -4x4/ x6

= -4x-2

     2. y = (12x2) / x5

y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

= 24x6 – 60x6 / x10

  = -36 x6 / x10

= -36 x-4

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka  dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2 → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

1. y = x7

y’ = 7x6

2.  y = x-8

y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2

y= 5x-8 → y’= -40x-9

y= 6x5 → y’ = 30x4

y = 3x7

y’ = 7.3x7-1

y’ = 21x6

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

y = 5/x3 ,

  dy/dx = 5(3x2) / (x3)2

             = -15x2/ x6

y = 4/x-8

y’= -4.-8x9 / (x-8)2

y’ = 32x-9 / x--16

y’= (32x-9). x16

y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

y = (4x2) (x3)

Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → dv/dx = 3x2

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

= 12x4+ 8x4

= 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

v = x4 → dv/dx = 4x3

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

= 32x5+ 16x5

= 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

y = U/V → y = (4x2) / x3

y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

= 8x4-12x4 / x6

= -4x4/ x6

= -4x-2

     2. y = (12x2) / x5

y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

= 24x6 – 60x6 / x10

  = -36 x6 / x10

= -36 x-4

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka  dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2 → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

1. y = x7

y’ = 7x6

2.  y = x-8

y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2

y= 5x-8 → y’= -40x-9

y= 6x5 → y’ = 30x4

y = 3x7

y’ = 7.3x7-1

y’ = 21x6

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

y = 5/x3 ,

  dy/dx = 5(3x2) / (x3)2

             = -15x2/ x6

y = 4/x-8

y’= -4.-8x9 / (x-8)2

y’ = 32x-9 / x--16

y’= (32x-9). x16

y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

y = (4x2) (x3)

Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

v = x3 → dv/dx = 3x2

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

= 12x4+ 8x4

= 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

v = x4 → dv/dx = 4x3

Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

= (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

= 32x5+ 16x5

= 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

y = U/V → y = (4x2) / x3

y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

= 8x4-12x4 / x6

= -4x4/ x6

= -4x-2

     2. y = (12x2) / x5

y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

= 24x6 – 60x6 / x10

  = -36 x6 / x10

= -36 x-4

B. Turunan Fungsi Dua Variabel

Turunan Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

1. x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

2 . y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi

y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1. z = 2x + y

2. xy + xz – yz = 0

a. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

. Differensial Total dan Turunan Total

membentuk turunan parsial dan ,perubahan dan ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari dan berbentuk disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz = disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

Contoh

1. tentukan dw jika w = !

penyelesaian :

dw = dx + dy - dz

2. radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran .gunakan diferensial total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh = 0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv = dr + dh

dv = 2 + dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm dan dr =dh = sehingga menghasilkan dv =2 (40) ( (

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.