Matriks
Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.
Ordo Matriks
Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:
- Banyak baris, m = 3
- Banyak kolom, n = 3
- Ordo matriks, m x n = 3 x 3
Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:
Dimana, adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.
Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:
Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.
Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:
atau
Jenis-jenis Matriks
Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :
1. Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:
A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris
atau adalah matriks kolom
2. Matriks Persegi
Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.
Contoh:
adalah matriks persegi berordo 3, atau
adalah matriks persegi berordo 2.
3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah
Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks untuk atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Contoh:
adalah matriks segitiga atas,
adalah matriks segitiga bawah.
4. Matriks Diagonal
Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks untuk atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.
Contoh:
atau
5. Matriks Skalar
Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.
Contoh:
atau
6. Matriks Indentitas
Sudah dijelaskan di atas.
7. Matriks Simetris
Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen sama dengan elemen .
Contoh:
Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.
Transpose Matriks
Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.
Contoh:
ditranspose menjadi .
Sifat dari transpose matriks: .
Contoh Soal dan Pembahasan
Jika dan Jika , maka agar , berapakah nilai c?
Pembahasan:
Diketahui bahwa
Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:
- (persamaan ke-1)
- 2 = a (persamaan ke-2)
- b = 2a + 1 (persamaan ke-3)
- (persamaan ke-4)
Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:
a = 2, maka:
b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5
dan
.
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:
Jika dan ,
- Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.Contoh:Jika dan ,maka:Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:
- A + B = B + A
- (A + B) + C = A + (B + C)
- A – B ≠ B – A
Perkalian Matriks
Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.
Perkalian Matriks dengan bilangan bulat
Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka . Contoh:
Jika dan bilangan r = 2, maka:
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:
- r(A + B) = rA + rB
- r(A – B) = rA – rB
Perkalian dua matriks
Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:
Elemen-elemen matriks merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:
Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:
dan
maka:
Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:
A x B ≠ B x A
Sebagai pembuktian, diketahui dan maka:
Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:
- k(AB) = (kA)B
- ABC = (AB)C = A(BC)
- A(B + C) = AB + AC
- (A + B)C = AC + BC
Determinan Matriks
Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.
Determinan matriks ordo 2×2
Jika maka determinan A adalah:
Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)
Jika maka determinan A adalah:
= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi
Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:
1. Determinan A = Determinan AT
2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar
3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.
4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.
5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.
Invers Matriks
Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti dapat dirumuskan sebagai:
Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:
- AA-1 = A-1A = I
- (A-1)-1 = A
- (AB)-1 = B-1A-1
- Jika AX = B, maka X = A-1B
- Jika XA = B, maka X = BA-1
contoh :
Komentar
Posting Komentar