Himpunan, Elemen, dan Bilangan

    A. Himpunan

   1.  Definisi

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.

Contoh bukan himpunan:

• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.

2. penulisan himpunan

         a)Cara mendaftar/tabular form

yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.

Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}

       b)    Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form
             yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.

Contoh:

3.  Jenis-Jenis Himpunan

        a)   Himpunan Kosong

             Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota,                  yang dilambangkan dengan ø (phi) atau {}.

               Syarat :

 Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal.Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

a)   Himpunan Universal (Semesta)

Himpunan universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U .  Himpunan semesta juga dilambangkan dengan huruf S

Contoh:

   a)   Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

   b)   Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2^A atau P(A).

Contoh: A = {1, 2, 3}

    a)   Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

b)   Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

c)   Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4

3. Operasi-Operasi Pada Himpunan

a) Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebah himpunan yang setiap elemen nya merupakan bagian dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Diagram Venn untuk A ∩ B seperti gambar berikut :

contoh : 

a. Jika A = {3, 6, 9, 12} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, maka A ∩ B = {6, 12}

b. Jika A = {4, 7, 9} dan B = {-2, 5}, maka A ∩ B = ∅. Yang berarti A || B

b) Gabungan (union)

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

 Diagram Venn untuk A ∪ B seperti gambar berikut.

Contoh  :

a. Jika A = {1, 5, 8} dan B = {7, 10, 15}, maka A ∪ B = {1,5,7,8,10,15}

b. Jika A = {a, b, c} dan B = {d, e, f}, maka A ∪ B = {a,b,c,d,e,f}

c) Selisih (difference)

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Operasi selesih hanya mengambil bagian yang tidak terdapat pada pasangan himpunan nya.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }

      Diagram Venn untuk A - B ditunjukkan pada gambar berikut.

       Contoh  :

a. Jika A = {1,2,3,…,10} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A – B = {2,4,6,8,10} dan B– A = Ø

b. {3, 7, 9} – {3, 6, 7} = {9}

c. {3, 6, 7} – {3, 7, 9} = {6}

d)  Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A}

       Operasi komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta U dalah sebagai berikut.

       Contoh :

       Misalkan U = {1,2,3,..10}

a     Jika A = {2,4,6,8,10}, maka Ā = {1,3,5,7,9}

e)  Beda-Setangkup (symmetric difference)

Operasi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemen nya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Dengan kata lain, operasi beda setangkup mengambil semua bagian yang berbeda dari kedua himpunan.


Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B)– (A ∩ B) 



Diagram Venn untuk A ⊕ B adalah sebagai berikut.




   Contoh :
a   Jika A = {2, 5, 8} dan B = {2, 4, 6}, maka
      A ⊕ B = {4,5,6,8}
     A = himpunan segitiga sama kaki
     B = himpunan segitiga sama siku-siku
     A ⊕ B = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku dan segitiga siku-siku yang tidak sama kaki.


f) Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan yang berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.


Notasi : A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B

   Contoh 1:

     Misalkan C = {1,2,3}, dan D = {a,b}, maka perkalian kartesian
     C dan D adalah C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
      Perlu diperhatikan bahwa :

a. Jika A dan B adalah himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| |B| .

b. Susunan (a, b) berbeda dengan (b, a), artinya (a, b) ≠ (b, a).

c. Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø

   

A. Bilangan 



1.  Pengertian 

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran atau lebih mudahnya bilangan adalah suatu

sebutan untuk menyatakan jumlah/banyaknya sesuatu



2.  Macam-Macam Bilangan



a)     Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah semua bilangan selain pecahan atau desimal, terdiri dari bilangan bulat positip, nol dan bilangan bulatnegatif.

Contah:  dst.... -3,-2,-1,0,1,2,3...dst



b)          Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.

Contoh: 2,4,6,8,10,12,14......dst



c)          Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.

Contoh: 1,3,5,7,9,11,13,15.....dst



d)          Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari angkal nol (0) sampai dengan tak terhingga.

Contoh: 0,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11.... dst



e)          Bilangan Asli

Bilangan Asli adalah bilangan bulat positif yang dimulai dengan angka satu (1) sampai tak terhingga.

Contoh: 1,2,3,4,5,67,8,9,10,11,... dst



f)           Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi oleh angka 1 atau bilangan itu sendiri.

Contoh: 2,3,5,7,... dst



g)          Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut.

Contoh : 5/7

5 dinyatakan sebagai bilangan pembilang

7 dinyatakan sebagai bilangan penyebut



h)          Bilangan Rasional

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.

Contoh: 2/1 , 1/2, 2/3, 3/4, .... dst



i)            Bilangan Irrasional

Bilangan Irrasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti) atau bilangan yang tidak bisa dibuat pecahannya.

Contoh : I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }

Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan irrasional.



j)            Bilangan Riil 

Bilangan Riil adalah semua bilangan rasional dan irrasional. 

Contoh: 1,3,5,3,6, 1/2, 3/4,...dst



k)          Bilangan Komposit

Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima.

Contoh: 4,6,8,9,10,12,14,16,18,...dst



      l)   Bilangan Kubik

Bilangan Kubik adalah perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali

Contoh: 

 


  

  

23

  

=

  

8

  

  

 

  

  

33

  

=

  

27

  

  

 

  

  

43

  

=

  

64

  

  

 

  

  

103

  

=

  

1.000

  

  

 

  

  

203

  

=

  

8.000

  

  

 

  

  

303

  

=

  

27.000

  

  

 

  

  

403

  

=

  

64.000

  

  



 


m) Bilangan Romawi

Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari Romawi kuno.

Sistem penomoran ini memakai huruf Latin  untuk melambangkan angka numerik.

Contoh: 


 


  

Simbol

  

Hasil

 

  

I

  

1 (satu) (unus)

 

  

V

  

5 (lima) (quinque)

 

  

X

  

10 (sepuluh) (decem)

 

  

L

  

50 (lima puluh) (quinquaginta)

 

  

C

  

100 (seratus) (centum)

 

  

D

  

500 (lima ratus) (quingenti)

 

  

M

  

1.000 (seribu) (mille)

 




 


  

Simbol

  

Hasil

 

  

V

  

5.000 (lima ribu)

 

  

X

  

10.000 (sepuluh
  ribu)

 

  

L

  

50.000 (lima puluh
  ribu)

 

  

C

  

100.000 (seratus
  ribu)

 

  

D

  

500.000 (lima ratus
  ribu)

 

  

M

  

1.000.000 (satu
  juta)

 









n)    Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang angota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1. Dengan a bagian bilangan
rill dan b bagian dari bilangan imajiner.

Contoh: K = { 2-3i, 8+2, …. }

o) Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bolangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1.

Contoh: M = { i, 4i, 5i, ….. }

p)    Bilangan Kuadrat

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan    

  bilangan itu sendiri sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.

Contoh: D = { 22, 32, 42, 52, ….. }



Demikian pembahasan mengenai himpunan, elemen dan bilangan semoga bermanfaat 

dan dapat dijadikan referensi

Sampai bertemu di pembahasan selanjutnya