Determinan Metode Sarrus

Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks.

Ciri khas ini juga dimiliki pola Sarrus 4×4, hanya saja dengan jumlah pola yang lebih banyak yaitu 3 pola.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Maka determinan matriks A, yaitu:

Det A =(-2)(3)(-8) + (4)(-7)(-1) + (-5)(1)(4) – ((-5)(3)(-1) + (-2)(-7)(4) + (4)(1)(-8))

Det A = (48 + 28 – 20) – (15 + 56 -32) = 56 – 39 = 17

Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen, jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai nol.

Maka, perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat.

Satu Elemen Nol

Matriks yang salah satu elemennya nol, maka kita hanya perlu menghitung 4 jalur.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large B = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &0 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

determinan matriks 3x3 metode sarrus dan minor kofaktor 1 nol

Det B = (-2)(3)(-8) + (-5)(1)(4) – ((-5)(3)(-1) + (4)(1)(-8))

Det B = (48 – 20) – (15 -32) = 28 + 17 = 45

Dua Elemen Nol

Dua elemen nol dalam dua baris berbeda, determinan dapat dihitung dengan 3 jalur.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large C = \begin{bmatrix} -2 &0 &-5 \\ 1 &3 &0 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

determinan matriks 3x3 metode sarrus dan minor kofaktor dua nol 1

Det C = (-2)(3)(-8) + (-5)(1)(-4) – ((-5)(3)(-1) )

Det C = (48 – 20) – 15 = 28 – 15 = 13

Dua elemen nol dalam baris yang sama, maka determinan dapat ditentukan dengan 2 jalur saja.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large D = \begin{bmatrix} 0 &4 &0 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

determinan matriks 3x3 metode sarrus dan minor kofaktor dua nol 2

Det D = (4)(-7)(-1) – ((4)(1)(-8))

Det D = 28 + 32 = 60

Tiga Elemen Nol

Ada beberapa kemungkinan posisi tiga elemen nol. Saya hanya akan membahas dua diantaranya.

Pertama, tiga elemen nol dalam satu baris.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large E = \begin{bmatrix}-2 &4 &5 \\ 1 &3 &-7 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

determinan matriks 3x3 metode sarrus dan minor kofaktor 3 nol

Det E = 0

Dalam pembahasan SPL homogen 3 persamaan dan 3 variabel, matriks yang salah satu barisnya nol.

Maka, nilai determinannya adalah nol dan solusi SPL Homogen tersebut non trivial.

Kedua, tiga elemen nol membentuk matriks segitiga atas atau bawah.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large F = \begin{bmatrix}-2 &4 &5 \\ 0 &3 &-7 \\ 0 &0 &-8 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Det F = (-2)(3)(-8) = 48

Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor

Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.

Minor

Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.

Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.

Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.

Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.

Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.

Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan

Matriks	Submatriks	Minor
$A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$	$M_{12} = \begin{bmatrix}\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{21}&\vdots & a_{23} \\ a_{31}&\vdots & a_{33} \end{bmatrix}$	$\vspace{1pc} M_{12} = \begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}\\ \left \| M_{12} \right \|=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$

Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan

Matriks	Submatriks	Minor
$A_{3\times3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$	$M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \vdots \\ \cdots & \cdots & \vdots \\ a_{31}& a_{32} & \vdots \end{bmatrix}$	$\vspace{1pc} M_{23} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}\\ \left \| M_{23} \right \|=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}$

Kofaktor

Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:

$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

Contoh:

Kofaktor (C11)	Kofaktor (C12)	Kofaktor (C13)
$\vspace{1pc} C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} \\ C_{11} = (-1)^{2} M_{11} = M_{11}$	$\vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1)^{3} M_{12} \\ \vspace{1pc} C_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12}$	$\vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = (-1)^{4} M_{13} \\ \vspace{1pc} C_{13} = M_{13}$

Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:

Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif

Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif

Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor.

$C_{3\times3} = \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13} \\ -M_{21}& M_{22} & -M_{23} \\ M_{31}& -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}$

METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke- i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Apabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka harga determinan matriks = 0
Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris

Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi elementer matriks

Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya atau kolomnya, maka:

Jika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :

Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut